סטודנטים רבים שלומדים מתמטיקה גבוהה בשנות הלימודים הגבוהות שלהם כנראה תהו: היכן מיישמים משוואות דיפרנציאליות (DE) בפועל? ככלל, נושא זה אינו נדון בהרצאות, ומורים עוברים מיד לפתור DE בלי להסביר לתלמידים את היישום של משוואות דיפרנציאליות בחיים האמיתיים. ננסה למלא את הפער הזה.
נתחיל בהגדרת משוואה דיפרנציאלית. אז משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המחברת את ערך הנגזרת של פונקציה עם הפונקציה עצמה, את ערכי המשתנה הבלתי תלוי ומספרים מסוימים (פרמטרים).
התחום הנפוץ ביותר בו מיישמים משוואות דיפרנציאליות הוא התיאור המתמטי של תופעות טבע. הם משמשים גם לפתרון בעיות שבהן אי אפשר לבסס קשר ישיר בין כמה ערכים המתארים תהליך. בעיות כאלה מתעוררות בביולוגיה, בפיזיקה, בכלכלה.
בביולוגיה:
המודל המתמטי המשמעותי הראשון המתאר קהילות ביולוגיות היה מודל לוטקה - וולטרה. זה מתאר אוכלוסייה של שני מינים האינטראקציה. הראשון שבהם, הנקרא טורפים, בהיעדר השני, מת על פי החוק x ′ = –ax (a> 0), והשני - טרף - בהעדר טורפים מתרבה ללא הגבלה בהתאם לחוק של מלתוס. האינטראקציה בין שני הסוגים הללו מעוצבת כדלקמן. הקורבנות מתים בשיעור השווה למספר המפגשים של טורפים וטרפים, אשר במודל זה מניחים שהם פרופורציונליים לגודל שתי האוכלוסיות, כלומר שווים ל- dxy (d> 0). לכן, y ′ = על ידי - dxy. טורפים מתרבים בקצב פרופורציונלי למספר הטרף שנאכל: x ′ = –ax + cxy (c> 0). מערכת משוואות
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = על ידי - dxy, (2)
טורף הטרף המתאר אוכלוסייה כזו נקרא מערכת לוטקה-וולטרה (או מודל).
בפיזיקה:
החוק השני של ניוטון יכול להיכתב בצורה של משוואה דיפרנציאלית
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), כאשר m הוא מסת הגוף, x הוא הקואורדינטה שלו, F (x, t) הוא הכוח הפועל על הגוף עם הקואורדינטה x בזמן t. הפיתרון שלו הוא מסלול הגוף תחת פעולת הכוח שצוין.
בכלכלה:
מודל של צמיחה טבעית של התפוקה
אנו נניח כי מוצרים מסוימים נמכרים במחיר קבוע P. בואו Q (t) מציין את כמות המוצרים הנמכרים בזמן t; ואז בנקודת זמן זו ההכנסה שווה ל- PQ (t). תנו לחלק מההכנסה שצוינה לבזבז השקעות בייצור מוצרים שנמכרו, כלומר
אני (t) = mPQ (t), (1)
כאשר m הוא שיעור ההשקעה - מספר קבוע ו- 0
